Определение понятия отношение на множестве

Неравенство - определение понятия отношение на множестве это два числа или математических выражения, соединенных одним из знаков:  (больше),  (меньше),  (больше или равно),  (меньше или равно). Запись  означает то же, что , так что наличие двух противоположных знаков неравенства просто дополнительное удобство. Неравенства, содержащие знак  или , называют строгими, а содержащие знак  или  - нестрогими.

Числовое неравенство может быть верным или неверным; например, неравенства ; ; ; ;  верны, а  неверно. Таким образом, с точки зрения математической логики неравенство является высказыванием. Неравенство с переменными (т.е. неравенство, в запись которого входят буквы, принимающие разные значения) может при одних значениях переменных быть верным, при других - нет. Доказать такое неравенство - значит доказать, что оно выполнено при всех допустимых значениях переменных (такие неравенства называются тождественными). Для неравенства с переменными можно поставить задачу: решить неравенство, т.е. описать множество значений переменных, при которых оно выполнено.

Решая или доказывая неравенства, мы опираемся на основные свойства отношения «больше - меньше» между числами:

(1) отношение неравенства антисимметрично, т.е. для любых различных чисел  либо , либо , и транзитивно, т.е. для любых трех чисел  если  и , то ;

(2) если , то  при любом ;

(3) если  и , то .

Из последних двух свойств, связывающих отношение неравенства между числами с арифметическими операциями, именно свойство (3) вызывает наибольшее число ошибок у начинающих: часто забывают, что при умножении на отрицательное число неравенство изменяется на противоположное. Из основных свойств (1), (2), (3) можно вывести все другие: если  и , то  (правило почленного сложения неравенств); если ,  - натуральное число, то  и т.п.

При расширении понятия числа - переходя от целых чисел к рациональным, затем к действительным - мы должны определять отношение «больше - меньше» на новом множестве так, чтобы сохранялись основные его свойства. По определению из двух дробей  и  (с положительными знаменателями ) первая больше, если ; из двух положительных бесконечных десятичных дробей больше та, у которой больше единиц в самом левом из несовпадающих разрядов (при этом не рассматриваются дроби с окончаниями 9999...).

С помощью неравенств задаются основные числовые множества (отрезок , интервал , луч  и т.д.), формулируются определения предела, непрерывной функции, монотонной последовательности и функции, целого ряда других важных понятий. Например, определение выпуклой функции  можно сформулировать так: непрерывная функция называется выпуклой вниз, если для всех  выполнено неравенство

,

а выпуклой вверх - если верно неравенство противоположного смысла (см. Выпуклые функции); для функции, имеющей производную, это эквивалентно тому, что  - монотонная функция (соответственно неубывающая или невозрастающая, рис. 1).

212.jpg

Рис. 1

Выпуклые функции и их производные

На языке неравенств нередко формулируется постановка задачи во многих приложениях математики. Например, многие экономические задачи сводятся к исследованию систем линейных неравенств с большим числом переменных (см. Геометрия). Часто то или иное неравенство служит важным вспомогательным средством, основной леммой, позволяющей доказать или опровергнуть существование каких-то объектов (скажем, решений уравнения), оценить их количество, провести классификацию. Например, чтобы классифицировать все правильные многогранники, нужно прежде всего вспомнить, какие углы могут иметь правильные многоугольники, и воспользоваться неравенством: сумма величин плоских углов выпуклого многогранного угла не больше 360°.

Эта теорема наряду с самыми первыми геометрическими неравенствами («перпендикуляр меньше наклонной, проведенной из одной и той же точки к данной прямой», «сторона треугольника меньше суммы двух других сторон», «против большего угла треугольника лежит большая сторона») принадлежит еще древнегреческой математике - она содержалась в знаменитых «Началах» Евклида.

Неравенства - это не только вспомогательный инструмент. В каждой области математики - алгебре и теории чисел (см. Чисел теория), геометрии и топологии, теории вероятностей и теории функций, математической физике и теории дифференциальных уравнений, теории информации и дискретной математике - можно указать фундаментальные результаты, формулируемые в виде неравенств.

Во многих разделах математики, особенно в математическом анализе, в прикладной математике, неравенства встречаются значительно чаще, чем равенства. Скажем, решение каких-то практически важных уравнений лишь по счастливой случайности удается найти точно - в виде числа или формулы, а для приближенного решения в математике всегда требуется указать оценку погрешности, т.е. доказать некоторое неравенство. В этом заключается одно из главных отличий между математическим и физическим уровнем строгости: физик готов ограничиться нахождением «порядка величины» там, где математик стремится строго доказать какие-то оценки, т.е. неравенства.

Находя оценку той или иной величины сверху (максимум) или снизу (минимум), т.е. доказывая, что эта величина не больше какого-то числа  (или не меньше ), мы стараемся получить как можно более точный результат: оценку сверху - пониже, снизу - повыше. Самая точная возможная оценка числового множества  сверху обозначается  (супремум ). Аналогично определяется самая точная оценка снизу:  (инфинум ). Рассмотрим, для примера, отношение площади  многоугольника к квадрату его периметра . Чем более «округлый» многоугольник, тем величина  больше - в этом легко убедиться на примерах (рис. 2). Точная верхняя грань этого отношения: . На множестве всех многоугольников эта оценка не достигается - нет такого многоугольника, для которого  в точности равно ; а на множестве всех (выпуклых) фигур - достигается, причем только для круга радиуса  это отношение как раз равно . Когда величина достигает своего наибольшего значения, вместо  можно писать  (максимум); соответственно вместо  писать  (минимум).

213.jpg

Рис. 2

Отношение площади к квадрату периметра максимально для круга.

Доказательство неравенств тесно связано с исследованием функций на экстремум (см. Экстремум функции). Чтобы доказать, что максимум какой-то функции  равен , мы должны указать значения аргументов, при которых функция  равна , и доказать неравенство . Например, тот факт, что на множестве всех фигур , обычно формулируется так: из всех фигур данного периметра наибольшую площадь имеет круг. Это знаменитое изопериметрическое неравенство (доказанное впервые Л. Эйлером) - представитель целого класса геометрических неравенств, различные варианты и многомерные обобщения которых используются в разных отделах математики и ее приложениях.

Важная часть работы математика - доказательство тождественных неравенств, т.е. таких, которые верны при всех значениях входящих в них переменных (или при всех заранее оговоренных допустимых значениях переменных). Иногда это дело несложное - например, чтобы доказать неравенство , где  и  - некоторые функции, удается преобразовать разность  так, что становится очевидной ее положительность: , поскольку ; , поскольку .

Но бывает, что для доказательства неравенства приходится использовать весьма тонкие геометрические или аналитические соображения. Как опытному шахматисту помогает знание основных дебютов, так и математику полезно знать некоторые часто встречающиеся классические тождественные неравенства. Среди них - красивые неравенства, в которые переменные входят симметричным образом (см. Средние значения).

Серию таких неравенств дает следующее общее неравенство датского математика И. Йенсена (1859-1925) для выпуклых функций: если  - выпуклая вниз функция на отрезке  и  - любые положительные числа, то при всех  из

.

Для выпуклой вверх функции верно обратное неравенство; в частности, при , ,  , отсюда получается неравенство для среднего арифметического и среднего геометрического.

Наглядное объяснение этого неравенства состоит в следующем: если на графике выпуклой вниз функции расположить грузы с произвольными массами , то центр их масс будет лежать выше графика (рис. 3).

214-1.jpg

Рис. 3

Центр масс системы грузов имеет координаты

Для получения оценок сумм вида  применяются метод математической индукции, а также сравнение этой суммы со специально подобранным интегралом. Например, для суммы

(см. Гармонический ряд) сравнение ее с площадью под гиперболой  (рис. 4) дает оценки: . Скажем, при , отсюда получаем .

214-2.jpg

Рис. 4

Доказательства непрерывности и дифференцируемости элементарных функций, формул для их производных опираются на некоторые основные неравенства; среди них - неравенства  (при ), , неравенство Бернулли  (при , натуральном ).

Методы математического анализа, в свою очередь, удобное средство доказательства неравенств для функций от одной переменной. Так, если значения двух функций  и  совпадают при  и  при , то  при любом , другими словами, неравенство можно почленно интегрировать. Приведем один пример, показывающий, как это соображение позволяет вычислять с большой точностью .

Поскольку  и , то при

.

Точно так же отсюда получаем последовательно:

, т.е. ;

;

, т.е. ;

 и т.д.

Таким образом, мы получаем, что  заключен между суммой первых  и первых  членов ряда

(где )

(при любом ); точно так же для  аналогичные оценки дает ряд

.

Мы говорили выше о способах получения тождественных неравенств. Если же записано какое-то неравенство вида

,

где  и  - любые функции,  - переменная, то при некоторых значениях  оно будет верно, при других - нет.

Решить такое неравенство - значит найти множество  всех значений переменной , при которых оно верно. Задачи на решение неравенств подробно изучаются в школьном курсе. Между решением неравенств и решением уравнений много общего - неравенства тоже нужно с помощью преобразований сводить к более простым. Важное отличие состоит в том, что множество  решений неравенства, как правило, бесконечно (отрезок, луч, объединение нескольких отрезков). Сделать полную проверку ответа в этом случае нельзя. Поэтому, решая неравенство, нужно обязательно переходить к эквивалентному ему неравенству - имеющему в точности то же множество решений. Для этого, опираясь на основные свойства неравенств, надо проделывать лишь такие преобразования, которые сохраняют знак неравенства и обратимы. Скажем, можно применить к обеим частям операцию возвышения в куб, но нельзя - операции возвышения в квадрат (если только не известно, что обе части его заведомо положительны); вообще неравенства  и  эквивалентны, если функция  неубывающая.

Однако если мы умеем решать уравнение , то решить неравенство , как правило, не представляет труда: в этом помогает «метод интервалов». Будем говорить о неравенстве вида  (мы можем перенести все члены в левую часть). Пусть функция  определена и непрерывна на всей прямой или на области , состоящей из нескольких (конечных или бесконечных) отрезков. Так будет для всех элементарных функций. Отметим корни уравнения ; они разбивают область определения функции  на ряд интервалов, в каждом из которых  сохраняет знак. Какой именно знак имеет  в каждом из интервалов, можно выяснить, подставив в  одно (любое) значение  из этого интервала. Остается выбрать те интервалы, в которых  положительно, - это будет искомое множество .

Например, чтобы решить неравенство

,

заметим, что знаменатель  обращается в 0 при  и , а вся дробь обращается в 1 при  и . Остается на каждом из 6 кусочков, на которые делят прямую эти пять точек, найти знак дроби

,

как это и бывает обычно (кроме исключительных случаев «кратных корней»), знаки чередуются. (Ответ:  состоит из трех множеств: ,  и .)

Еще проще применять «метод интервалов», если заранее известно, где функция убывает, а где - возрастает, и известен ее график. Например, неравенство  будет выполнено на отрезках между корнями  уравнения  (здесь ), содержащих точки . На рис. 5 множество решений - объединение отрезков , .

215-1.jpg

Рис. 5

 


Источник: http://sernam.ru/book_e_math.php?id=87

Поделись с друзьями



Рекомендуем посмотреть ещё:


Закрыть ... [X]

Технология социальной работы. Учебное пособие Алоэ при боли в зубе



Определение понятия отношение на множестве СЕМАНТИКА - это. Что такое СЕМАНТИКА?
Определение понятия отношение на множестве Функция (математика) Википедия
Определение понятия отношение на множестве Граф (математика) Википедия
Определение понятия отношение на множестве ОСНОВЫ ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Определение понятия отношение на множестве Открытый урок
НЕРАВЕНСТВА Бьюти-откровения 43-летней Леры Кудрявцевой Вопросы - протезирование Как разносить обувь из искусственной кожи. Видео - Woman s Day Комочки в миндалинах, гной в гландах и горле. Форум Купить одинаковую одежду family look в Минске - Фэмили лук Международная студия красоты Dr. Vэлла.Официальный партнер

ШОКИРУЮЩИЕ НОВОСТИ